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N.B. : Il est fortement conseillé d'avoir lu le chapitre sur les droites avant d'aborder cette partie.

C'est l'histoire d'un petit bonhomme...

• Imaginons un petit bonhomme qui part d'un point A pour rejoindre un point B. Dans un repère orthonormé, nous matérialisons le trajet effectué par une flèche droite, partant de A, et rejoignant B.
  Ce trajet, nommé vecteur, se note $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (lire "vecteur A B").
  Remarquez bien la petite flèche, au dessus de AB, qui distingue le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, de la longueur AB, de la droite (AB), et du segment [AB].

• Deux remarques immédiates :
  • $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ : le trajet de A à B est bien l'inverse du trajet de B à A.
  • $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}}=\overrightarrow{0}$ (se lit "vecteur nul"). Aller de A à B puis de B à A, c'est bien retomber sur son point de départ.

L'addition/soustraction de vecteurs

• Imaginons maintenant que notre petit bonhomme reparte du point B pour rejoindre le point C. Si nous ajoutons ce nouveau déplacement $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ au déplacement $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ précédent, nous obtenons $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Cette propriété d'additivité des vecteurs, nommée "relation de Chasles", ne fait que résumer un simple fait : aller d'un point A à B, puis d'un point B à C, revient finalement à aller du point A à C directement.
• Vous l'aurez compris : les vecteurs matérialisent des déplacements, d'un point de départ à un point d'arrivée.
• Avec la logique inverse, notre petit bonhomme, au lieu d'aller de A à C directement, pourrait très bien avoir envie de faire un ou plusieurs petits détours par des points intermédiaires. C'est souvent le cas dans les problèmes posés en mathématiques où il faut décomposer un vecteur donné en une somme d'autres vecteurs.
  Exemple :
  
  • $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}-\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{FC}}$.
  
  Et oui : ce n'est pas parce que tous les chemins mènent à Rome qu'il faut forcément y aller en ligne droite !

La multiplication/division

• On peut également multiplier ou diviser des vecteurs par un nombre réel. Le vecteur 3 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, représente trois fois de suite le trajet du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, en repartant à chaque fois du dernier point d'arrivée.
• De même, faire $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, c'est faire la moitié du trajet de A à B.
• Quand les vecteurs ne se suivent pas, il suffit de "déplacer" le vecteur distant et de le "coller" au dernier point d'arrivée, afin que notre petit bonhomme puisse tranquillement continuer son trajet.
  Exemple :
  Dans la figure suivante, notre petit bonhomme est parti du point arbitraire de coordonnées (-1;5), puis a effectué le trajet suivant :
  $-\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Décomposition de vecteurs

• Pour pouvoir travailler avec des vecteurs, on peut décomposer le déplacement de notre petit bonhomme en utilisant les axes du repère. Dans le chapitre des droites précédent, nous avons appris à "projeter" des points sur les axes x et y du répère, de manière à obtenir les coordonnées (x;y) de chaque point. Nous avions ainsi noté A(x_A;y_A), B(x_B;y_B), C(x_C;y_C) les coordonnées des points A, B et C respectifs.
• Quand on connaît les coordonnées du point de départ et du point d'arrivée, les coordonnées du vecteur se déduisent avec la logique "coordonnées du point final - coordonnées du point initial".
  Exemples avec les points A(-4;6),B(-1;9),C(1;9),D(7;5) de la figure précédente :
  
  • $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}(-1-(-4);9-6)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}(3;3)$
  • $\overrightarrow{\mathrm{BC}}(x_C-x_B;y_C-y_B)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{BC}}(1-(-1);9-9)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{BC}}(2;0)$
  • $\overrightarrow{\mathrm{CD}}(x_D-x_C;y_D-y_C)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{CD}}(7-1;5-9)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{CD}}(6;-4)$
• Pour la multiplication/division d'un vecteur par un nombre réel, il suffit de multipler/diviser les coordonnées.
  Exemples avec les points A(-4;6),B(-1;9),C(1;9) de la figure précédente :
  
  • $2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(2\right(x_B-x_A);2(y_B-y_A)\Rightarrow 2\overrightarrow{\mathrm{AB}}(6;6)$
  • $-3\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(-3\right(x_C-x_A);-3(y_C-y_A\left)\right)\Rightarrow -3\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-18;12)$

Projection de vecteurs

• Soit M(x_M;y_M) un point du plan, et O(0;0) l'origine du repère orthornormé. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ sont alors (x_M-x_O;y_M-y_O)=(x_M-0;y_M-0)=(x_M;y_M). On remarque ainsi que les coordonnées d'un point M quelconque ne sont rien d'autres que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ respectif.

Norme d'un vecteur

• Il s'agit de la longueur du vecteur considéré, qui est toujours positive ou nulle. Elle se note avec une double barre de chaque côté du vecteur.
  Exemple avec le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  :
  $||\overrightarrow{\mathrm{AB}}||=\mathrm{AB}$

Le produit scalaire

• Il s'agit ici de projeter un vecteur sur un autre en multipliant les normes des deux vecteurs. C'est une formule souvent usitée et déclinée sous deux formes. Soit un vecteur $\overrightarrow{u}(x_u,y_u,z_u)$ et un vecteur $\overrightarrow{v}(x_v,y_v,z_v)$, le produit scalaire se note alors : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=x_u.x_v+y_u.y_v+z_u.z_v$.
  Attention : le premier point (volontairement plus gros) n'est pas une multiplication mais l'opérateur scalaire.
• Le produit scalaire de deux vecteurs s'annule quand les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). Cette propriété est souvent utilisée dans les exercices.
• Quand un des vecteurs est une vecteur unitaire de la base orthonormée, on retrouve directement la projection orthogonale du vecteur.

Le produit vectoriel (post-bac)

• Soit $\overrightarrow{u}(x_u,y_u,z_u)$ et un vecteur $\overrightarrow{v}(x_v,y_v,z_v)$, le produit vectoriel permet de trouver un vecteur $\overrightarrow{w}(x_w,y_w,z_w)$ orthogonal aux deux précédents, la condition étant que les deux vecteurs de la base ne soient pas colinéraires (parallèles ou confondus) entre eux. Dans ce cas, le produit vectoriel s'écrit : $\overrightarrow{u}⨯\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.\sin (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{c}{x}_u\\ y_u\\ z_u\end{array}\right)⨯\left(\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\\ z_v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_u{z}_v-z_u{y}_v\\ z_u{x}_v-x_u{z}_v\\ x_u{y}_v-y_u{x}_v\end{array}\right)$.
  Attention : l'opérateur « $⨯$» n'est pas une multiplication, mais un produit vectoriel version anglophone.
  
• La notation française du produit vectoriel (un lambda majuscule Λ, ou V inversé) ne semble pas exister en MathML pour le web. Vive l'internationalisation !

Conclusion

• Les vecteurs sont des outils qui s'avérent vite indispensables dans nombre de problèmes, tant physiques que mathématiques, comme nous allons le voir dans le chapitre suivant, avec les barycentres.