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Un peu de grec...

• α = alpha, β = beta, Δ = delta majuscule, θ = theta.

Un peu de notation...

• On note les coordonnées d'un point P quelconque sous la forme d'un duet (x;y), avec x l'abscisse du point considéré, et y l'ordonnée de ce même point.
• Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires + vecteurs directeurs de même taille), l'abscisse d'un point est sa projection orthogonale sur l'axe X (l'axe des abscisses), et l'ordonnée d'un point est sa projection orthogonale sur l'axe Y (l'axe des ordonnées).
• Dans l'exemple suivant, on notera les coordonnées des points A et B respectivement A(2;3), B(6;5).
• La droite (AB) (notez les parenthèses) est alors la droite passant par A et B.

• Pour distinguer les coordonnées de plusieurs points, on rajoute à (x;y) le nom du point considéré en indice : les coordonnées du point A se notent alors (x_A;y_A), celles du point B (x_B;y_B), etc...
• Convention : les points sont toujours des lettres majuscules !
• Dans la figure ci-dessus par exemple, x_A=2, y_A=3, x_B=6 et y_B=5.

Les droites linéaires

• Ces droites passent toutes par l'origine du repère O(0;0), et traduisent une relation directe de proportionnalité entre l'abscisse x et l'ordonnée y suivant l'équation y=α.x, avec α∈ℜ (∈ se lit "appartient à", et ℜ est l'ensemble des nombres réels).
• À toute abscisse x correspond une seule et unique ordonnée y. Chaque couple (x;y) formant un point, une droite n'est rien d'autre qu'une infinité de points reliés entre eux par la même relation.
• Remarque : si α>0, la droite est croissante, si α<0, la droite est décroissante, enfin si α=0, la droite est horizontale (ici confondue avec l'axe des abscisses).

Les droites affines

• L'idée est ici de faire "coulisser" une droite linéaire sur l'axe y (axe des ordonnées), en ajoutant simplement un réel β à l'équation de base y=α.x. L'équation d'une droite affine s'écrit donc y=α.x+β, avec β∈ℜ.
• Le paramètre β porte le nom d'ordonnée à l'origine - graphiquement, c'est l'ordonnée où la droite coupe l'axe y du repère. L'abscisse de ce point d'intersection étant toujours x=0, le terme "ordonnée à l'origine" est donc explicite.

• On remarquera que quand α=0 (coefficient directeur nul), l'équation de droite se réduit à y=β, et la droite devient horizontale (cf. y=2 sur la figure).

Le coefficient directeur

• Le coefficient directeur α d'une droite se retrouve graphiquement en construisant rapidement un triangle rectangle.

• Pour cela, on commence par trouver deux points de la droite dont les coordonnées "tombent" sur le quadrillage de notre repère. Soit A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) ces deux points, le coefficient directeur de la droite est alors α=Δy/Δx=(y_B-y_A)/(x_B-x_A).
• Méthode recommandée : partir du point le plus à gauche (ici A), suivre l'axe des abscisses pour arriver au point C, puis rejoindre le point B. Cette manière de faire permet de prendre de bonnes habitudes qui serviront dans le chapitre des Vecteurs ultérieurement... En suivant cette méthode, on obtient toujours une quantité Δx>0, et une quantité Δy qui peut être positive (droite croissante), négative (droite décroissante) ou nulle (droite horizontale ou "stationnaire").
• Application pratique : on a ici A(-1;-2) et B(3;1). Le coefficient directeur de la droite est donc α=(1-(-2))/(3-(-1))=(1+2)/(3+1)=3/4.
• Autre remarque : si vous connaissez déjà les fonctions trigonométriques, vous remarquerez que α=tan(θ). Le coefficient directeur d'une droite n'est rien d'autre que la tangente de l'angle du triangle rectangle correspondant. Cette petite remarque explique pourquoi le coefficient directeur ne dépend pas des points A et B choisis, l'angle du triangle rectangle obtenu étant constant.
• Plus rapide : dans le cas particulier où Δx=1 (on part du point A et on avance d'une unité suivant l'axe des abscisses), on lit directement le coefficient directeur en Δy, puisque α=Δy/Δx... Attention quand même : cette méthode ne peut être utilisée que si le point suivant "tombe" parfaitement sur le quadrillage de la grille.

Le cas particulier des droites verticales

• Les droites verticales ont pour équation x=k avec k∈ℜ.

Droite parallèles

• Deux droites affines (Δ₁):y=α₁.x+β₁ et (Δ₂):y=α₂.x+β₂ sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux, donc si α₁=α₂.

Droite perpendiculaires

• Deux droites affines (Δ₁):y=α₁.x+β₁ et (Δ₂):y=α₂.x+β₂ sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, soit α₁.α₂=-1.
• Exemple : dans la seconde figure de ce chapitre, les droites y=2x et y=-(1/2)x sont perpendiculaires puisque 2.(-1/2)=-1.
• Cette formule est une conséquence directe des produits scalaires : le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. Avec (1;α₁) un vecteur de la première droite, et (1;α₂) un vecteur de la seconde, le produit scalaire est alors 1.1+α₁.α₂=0, d'où la formule précédente.

Tracé de droite

• Pour tracer une droite affine ou linéaire, le but est de trouver deux points distincts, si possible assez distants l'un de l'autre pour permettre un tracé précis.
• Pour trouver un point de la droite, on fixe une valeur arbitraire de x, et on calcule le y correspondant. On obtient ainsi le point de coordonnées (x;y).
• On peut également tracer une droite à partir d'un seul point et du coefficient directeur. On part alors du point connu. Si on avance d'une unité, et qu'on monte/descend du coefficient directeur, on obtient à chaque fois le point suivant. On peut aller encore un peu plus vite en prenant un réel k, et en utilisant le triangle rectangle de côtés Δx=k et Δy=k.α...

Retrouver l'équation d'une droite (Δ)

• Si la droite (Δ) est verticale, on sait immédiatement que son équation est de la forme x=k (k∈ℜ).
• Si la droite (Δ) est horizontale, on sait immédiatement que son équation est de la forme y=k (k∈ℜ).
• Dans tous les autres cas, on commence d'abord par trouver le coefficient directeur α avec la règle du triangle rectangle abordée plus haut.
• Si la droite passe par l'origine (droite linéaire), on sait immédiatement que son équation est de la forme y=α.x.
• Si la droite ne passe par l'origine (droite affine), on obtient une équation réduite y=α.x+β avec un β encore inconnu.
• Pour trouver β, il suffit de connaître un seul point de la droite étudiée. Si P(x_P,y_P)∈(Δ), alors ses coordonnées vérifient l'équation de la droite, soit y_P=α.x_P+β et finalement, β=y_P-α.x_P.

Conclusion

• La maitrîse des équations de droites est indispensable pour accéder à nombre d'autres domaines, en particulier les statistiques.
• Dans le chapitre, nous aborderons les vecteurs, un autre outil pas très éloigné des droites, lequel nous permettra d'aborder la notion de barycentres.